Τι (ποιος) είναι Архимеда аксиома - ορισμός

Аксиома Архимеда, или принцип Архимеда, или свойство Архимеда — математическое предложение, названное по имени древнегреческого математика Архимеда. Впервые это предложение было сформулировано Евдоксом Книдским в его теории отношений величин (понятие величины у Евдокса охватывает как числа, так и непрерывные величины: отрезки, площади, объёмы):

Если имеются две величины, ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, и ${\displaystyle a}$ меньше ${\displaystyle b}$, то, взяв ${\displaystyle a}$ слагаемым достаточное количество раз, можно превзойти ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle \underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b.}$

Например, для отрезков аксиома Архимеда звучит так: если даны два отрезка, то, отложив достаточное количество раз меньший из них, можно покрыть больший.

Утверждение аксиомы Архимеда кажется тривиальным, но её подлинный смысл заключается в отсутствии бесконечно малых и/или бесконечно больших величин. Так, эта аксиома не выполняется в нестандартном анализе: множество гипервещественных чисел содержит бесконечно малые и бесконечно большие величины. Такие элементы могут не удовлетворять аксиоме Архимеда. Возможны другие примеры.

Математические структуры, для которых свойство Архимеда выполняется, называют архимедовыми, например архимедово поле и архимедова группа, а те, для которых не выполняется, — неархимедовыми.